设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P在直线x-y+2=0上，n∈N*．求数

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}满足a₁=b₁，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bnan，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以a_n=3^n-1．
由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
则数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则b_n=1+（n-1）•2=2n-1
（Ⅱ）因为cn=bnan=2n-13n-1，所以Tn=130+331+532++2n-13n-1．
则13Tn=131+332+532++2n-33n-1+2n-13n，
两式相减得：23Tn=1+23+232++23n-1-2n-13n．
所以Tn=3-12•3n-2-2n-12•3n-1=3-n+13n-1．

解析

bnan

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：