已知等差数列{an}的前n项和为Sn，令bn=1Sn，且a4b4=25，S6-S3=15，Tn=b1+b2+…+bn．求：①数列{bn}的通项公式；②求Tn．

题文

已知等差数列{a_n}的前 n 项和为S_n，令bn=1Sn，且a4b4=25，S₆-S₃=15，T_n=b₁+b₂+…+b_n．
求：①数列{b_n}的通项公式； ②求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则a₄=a₁+3d，S₃=3a₁+3d，S₄=4a₁+6d，S₆=6a₁+15d，b4=14a1+6d，
∴a1+3d4a1+6d=25①…（4分）
又（6a₁+15d）-（3a₁+3d）=15②
由①②得a₁=d=1…（6分）
∴Sn=n(n+1)2∴bn=2n(n+1)…（8分）
（2）bn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)…（10分）
∴Tn=2(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1…（12分）

解析

14a1+6d

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，令.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：