已知等差数列{bn}中，bn=log2(an-1)，n∈N*，且已知a1=3，a3=9．求数列{bn}的通项公式；求数列{an}的通项公式和前n项和

题文

已知等差数列{b_n}中，bn=log2(an-1)，n∈N*，且已知a₁=3，a₃=9．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{b_n}的公差为d．由a₁=3，a₃=9，
得b₁=log_z（a₁-1）=log₂2=1，b₃=log₂（a₃-1）=log₂8=3，
∴b₃-b₁=2=2d，∴d=1，…3 分，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．…6 分，
（2）由（1）知b_n=n，∴log₂（a_n-1）=n，∴an-1=2n，∴an=2n+1．…9 分，
∴Sn=a1+a2+…+an=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
 =(2+22+…+2n)+n
=2(1-2n)1-2+n…11 分，
=2ⁿ⁺¹+n-2…12 分．

解析

Sn=a1+a2+…+an=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{bn}中，bn=log2(.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：