设{an}为递增等差数列，Sn为其前n项和，满足a1a3-a5=S10，S11=33．求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；试求所有的正整数m

题文

设{a_n}为递增等差数列，S_n为其前n项和，满足a₁a₃-a₅=S₁₀，S₁₁=33．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）试求所有的正整数m，使am+1am+3am+2为正整数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，依题意有
a₁（a₁+2d）-（a₁+4d）=10a₁+45d
11a₁+55d=33
可以解得
a₁=-7，d=2
∴a_n=2n-9，S_n=n²-8n
（2）am+1am+3am+2=(2m-7)(2m-3)2m-5=2m-5-42m-5
要使am+1am+3am+2为整数，只要42m-5为整数就可以了，
所以满足题意的正整数m可以为2和3

解析

am+1am+3am+2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}为递增等差数列，Sn为其前n项.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：