设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a2=1，bn=nSn+an，数列{bn}是公差为d的等差数列，n∈N*．求d的值；求数列{an

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，数列{b_n}是公差为d的等差数列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜22n+1(n+1)(n+2)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴b₁=S₁+3a₁，b₂=2S₂+4a₂，
∴d=b₂-b₁=4
（2）∵数列{b_n}是公差为4的等差数列，b₁=4
∴b_n=4n
∵b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴4n=nS_n+（n+2）a_n，
∴Sn+n+2nan=4①
当n≥2时，Sn-1+n+1n-1an-1=4②
①-②：Sn-Sn-1+n+2nan-n+1n-1an-1=0
∴an+n+2nan-n+1n-1an-1=0
∴anan-1=12•nn-1
∴ana1=anan-1× an-1an-2×…a2a1=12n-1•n
∵a₁=1，∴an=n2n-1
（3）∵Sn+n+2nan=4，an＞0，Sn＞0
∴Sn×n+2nan≤Sn+n+2nan2=2
∴0＜anSn≤4•nn+2
∴(a1a2…an)•(S1S2…Sn)≤22n+1(n+1)(n+2)③
∵n=1，Sn≠n+2nan
∴等号不成立
∴(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜22n+1(n+1)(n+2)

解析

n+2n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：