已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1．求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的

题文

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有c_n+1＞c_n恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：由已知，（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1（n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+1． …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=(n+1)•2n，设它的前n项和为T_n
∴T_n=2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ①
∴2T_n=2×2³+3×2³+…+（n+1）×2ⁿ⁺¹②
①-②可得：-T_n=2×2¹+2²+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹；…（8分）
（Ⅲ）∵a_n=n+1，∴cn=4n+(-1)n-1λ•2n+1，
要使c_n+1＞c_n恒成立，则cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)nλ•2n+2-(-1)n-1λ•2n+1＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-12ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．…（14分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=2，a2=3，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：