设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=b1=1，b4=8，S10=55．求数列{an}与{bn}的通项公式；（2

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知a₁=b₁=1，b₄=8，S₁₀=55．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式； 
（2）求S_n与T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
由S₁₀=55，得 10a₁+45d=55，…．（2分）
又a₁=1，所以10+45d=55，d=1…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（5分）
由b₄=8，得b₁•q³=8，…（6分）
又b₁=1，所以q³=8，q=2．…（8分）
∴b_n=b₁•2^n-1=2^n-1…．（10分）
（2）S_n=(a1+an)n2=(1+n)n2=12n²+12n．…（12分）
T_n=a1(1-qn)1-q=(1-2n)1-2=2ⁿ-1．…（14分）

解析

(a1+an)n2

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：