已知f=2，数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列；{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列，且满足a1=f，

题文

已知f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列；{b_n}是首项为b₁，公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，且满足a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在c_n=a_n•b_n（n∈N^*），试求数列{c_n}的前n项和；
（Ⅲ）是否存在数列{d_n}，使得d1=a2，dn=bn4-2dn-1对一切大于1的正整数n都成立，若存在，求出{d_n}；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得，a₃-a₁=d²-（d-2）²=2d
∴d=2
由等差数列的通项公式可得，a_n=2n-2（n∈N^*）；
∵b₃=（q-2）²=q²•q²
∴q²±q∓2=0∴q=-2
∴b_n=（-2）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（I）可得，C_n=a_n•b_n=2（n-1）•（-2）ⁿ⁺¹
∴S_n=2×0×（-2）²+2×1×（-2）³+2（n-1）×（-2）ⁿ⁺¹
-2S_n=2×0×（-2）³+2×1×（-2）⁴+…+（2（n-1）•（-2）ⁿ⁺²
错位相减法，可得3Sn=23[(-2)3-(-2)n+2]-(2n-2)•(-2)n+2⇒Sn=(4-6n)•(-2)n+2-169
（Ⅲ）假设存在满足条件的数列{d_n}，则有d₁=a₂=2，且有dn=(-2)n+14-2dn-1
d_n=（-2）^n-1-2d_n-1，两边同除以（-2）^n-1可得-2dn(-2)n=1-2dn-1(-2)n-1
令dn(-2)n=An，则有-2An=1-2An-1⇒An-An-1=-12
故{A_n}是首项为-1，公差为-12的等差数列，则An=-1+(n-1)(-12)=-12(n+1)，
故d_n=（n+1）（-2）^n-1．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=（x-1）2，数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：