已知公差为d的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}，满足集合{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}={1，2，3，4，5}

题文

已知公差为d（d＞1）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞1）的等比数列{b_n}，满足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通项a_n，b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；
（3）若恰有4个正整数n使不等式2an+pan≤bn+1+p+8bn成立，求正整数p的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；
成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4
而{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，
∴a₃=1，a₄=3，a₅=5，b₃=1，b₄=2，b₅=4
∴a1=-3，d=2，b1=14，q=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-5，b_n=b₁×q^n-1=2^n-3

（2）∵a_nb_n=（2n-5）×2^n-3
∴S_n=（-3）×2^-2+（-1）×2^-1+1×2⁰++（2n-5）×2^n-3
2Sn=&(-3)×2-1+(-1)×20++(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2
两式相减得-S_n=（-3）×2^-2+2×2^-1+2×2⁰++2×2^n-3-（2n-5）×2^n-2
=-34-1+2n-1-(2n-5)×2n-2
∴Sn=74+(2n-7)×2n-2
（3）不等式2an+pan≤bn+1+p+8bn等价于2[2(n+p)-5]2n-5≤2n-2+p+82n-3
即4p2n-5≤p+82n-3，
∵p＞0，∴n=1，2显然成立
当n≥3时，有4pp+8≤2n-52n-3，
即p≤8(2n-5)2n-1-2n+5=82n-12n-5-1
设cn=2n-12n-5，由cn+1cn=2(2n-5)2n-3＞1，得n＞3.5
∴当n≥4时，{c_n}单调递增，
即{8(2n-5)2n-1-2n+5}单调递减
而当n=3时，p≤223；
当n=4时，p≤445；
当n=5时，p≤3711；
当n=6时，p≤2625；
∴恰有4个正整数n使不等式2an+pan≤bn+1+p+8bn成立的正整数p值为3

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知公差为d（d＞1）的等差数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：