已知等差数列{an}中，an+1＞an，a2a9=232，a4+a7=37求数列{an}的通项公式；若将数列{an}的项重新组合，得到新

题文

已知等差数列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n+1＞a_n，a₂a₉=232，a₄+a₇=37
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}的项重新组合，得到新数列{b_n}，具体方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此类推，第n项b_n由相应的{a_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n-14•2n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由a_n+1＞a_n，可得公差d＞0
∵a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37
∴a₉＞a₂
∴a2=8a9=29
设公差为d，则d=a9-a29-2=29-89-2=3
∴a_n=a₂+3（n-2）=8+3n-6=3n+2…（4分）
（Ⅱ）由题意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，
=（3•2^n-1+2）+（3•2^n-1+5）+（3•2^n-1+8）+…+[3•2^n-1+（3•2^n-1-1）]
=2^n-1×3•2^n-1+[2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）]…（6分）
而2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的2^n-1项的和，
所以2+5+8+…++（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）=2n-1×2+2n-1(2n-1-1)2×3
=3•22n-3+2n4
所以bn=3•22n-2+3•22n-3+2n4…（10分）
所以bn-14•2n=98•22n
所以Tn=9(4+16+64+…+22n)8=98×4(1-4n)1-4=3(4n-1)2…（12分）

解析

a2=8a9=29

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}（n∈N+）中，an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：