已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=n(an-a1)2．求a1，a3；求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；设lg

题文

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且Sn=n(an-a1)2．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设lgbn=an+13n，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令n=1，则a₁=S₁=1(a1-a1)2=0，
令n=3，则S3=3(a3-a1)2，即0+1+a₃=3a32，解得a₃=2；   
（2）证明：由Sn=n(an-a1)2，即Sn=nan2①，得Sn+1=(n+1)an+12②，
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n ③，
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1，
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以a_n=n-1．                                          
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，
则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，
于是，2p3p=13+q3q．                                       
所以，q=3q(2p3p-13)（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．    
当p≥3，且p∈N*时，2(p+1)3p+1-2p3p=2-4p3p+1＜0，
故数列{2p3p}（p≥3）为递减数列                                      
于是2p3p-13≤2×333-13＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．      
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列．

解析

1(a1-a1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a2=1，前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：