已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2，且an＞0．求数列{an}的通项公式令bn=20-an，试求数列{bn}的前多少项的和最

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=14(an+1)2，且a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）令b_n=20-a_n，试求数列{b_n}的前多少项的和最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，有a1=S1=14(a1+1)2，∴a₁=1
当n=2时，有a1+a2=14(a2+1)2，∴a₁=3
当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=14[(an+1)2-(an-1+1)2]
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0又∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于b_n=20-a_n=21-2n，则b₁=19，b_n-b_n-1=-2＜0．
∴{b_n}是递减数列，
令bn=21-2n＞0  bn+1=19-2n＜0，
∴n=10，即数列{b_n}的前10项和最大．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：