设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中项．求数列{an}的通项公式；在集合M={m|m=2k，k∈Z，且

题文

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整数m，使得不等式Sn-1005＞a2n2对一切满足n＞m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列{S_n}有关的数列{u_n}，使得limn→∞(u1+u2+…+un)存在，并求出这个极限值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得，2S_n=a_n²+a_n①，
当n=1时，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1，…（1分）
当n≥2时，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1②，
①式减去②式得，2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
于是，a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1，…（2分）
因为a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，
所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，…（3分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=n（n∈N*）．…（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m，
则n(n+1)2-1005＞n22，n2＞1005，n＞2010，…（6分）
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以m=2010，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．…（8分）
设共有k个满足条件的正整数，
则2010+2（k-1）=2998，解得k=495．…（10分）
所以，M中满足条件的正整数m存在，
共有495个，m的最小值为2010．…（12分）
（3）设un=1Sn，即un=2n(n+1)，…（15分），
则u1+u2+…+un=21×2+22×3+…+2n(n+1)
=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2(1-1n+1)，
其极限存在，且limn→∞(u1+u2+…+un)=limn→∞[2(1-1n+1)]=2．…（18分）
注：un=cSn（c为非零常数），un=(12)c•Snn+1（c为非零常数），
un=qc•Snn+1（c为非零常数，0＜|q|＜1）等都能使limn→∞(u1+u2+…+un)存在．

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：