公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2+2，S3=12+32．求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；记bn=an-2，若

题文

公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=2+2，S3=12+32．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（Ⅱ）记bn=an-2，若自然数η₁，η₂，…，η_k，…满足1≤η₁＜η₂＜…＜η_k＜…，并且bη1，bη2，…，bη_，…成等比数列，其中η₁=1，η₂=3，求η_k（用k表示）；
（Ⅲ）记cn=Snn，试问：在数列{c_n}中是否存在三项c_r，c_s，c_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a1=2+2，S3=3a1+3d=12+32，∴d=2
所以an=2n+2，Sn=n2+(2+1)n
（Ⅱ）由题意，b_n=2n，首项b₁=2，又数列bη1，bη2，，bη_，
的公比q=b3b1=3
∴bηk=2•3k-1，又bηk=2ηk，∴η_k=3^k-1
（Ⅲ）易知cn=n+2+1，假设存在三项c_r，c_s，c_t成等比数列，则c_s²=c_r•c_t，
即[s+(2+1)]2=[r+(2+1)][t+(2+1)]，
整理得(2s-r-t)2=rt+r+t-s2-2s
①当2s-r-t≠0时，2=rt+r+t-s2-2s2s-r-t，
∵r，s，t∈N^*，∴rt+r+t-s2-2s2s-r-t是
有理数，这与2为无理数矛盾
②当2s-r-t=0时，则rt+r+t-s²-2s=0，从而s2=rt2s-r-t=0，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项c_r，c_s，c_t

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：