已知数列{an}中，a1=5且an=2an-1+2n-1．若数列{an+λ2n}为等差数列，求实数λ的值；求数列{an}的前n项

题文

已知数列{a_n}中，a₁=5且an=2an-1+2n-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）若数列{an+λ2n}为等差数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）方法1：∵a₁=5，
∴a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33．
设bn=an+λ2n，由{b_n}为等差数列，则有2b₂=b₁+b₃．
∴2×a2+λ22=a1+λ2+a3+λ23．
∴13+λ2=5+λ2+33+λ8．
解得 λ=-1．
事实上，bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n=12n+1[(an+1-2an)+1]=12n+1[(2n+1-1)+1]=1，
综上可知，当λ=-1时，数列{an+λ2n}为首项是2、公差是1的等差数列．
方法2：∵数列{an+λ2n}为等差数列，
设bn=an+λ2n，由{b_n}为等差数列，则有2b_n+1=b_n+b_n+2（n∈N^*）．
∴2×an+1+λ2n+1=an+λ2n+an+2+λ2n+2．
∴λ=4a_n+1-4a_n-a_n+2=2（a_n+1-2a_n）-（a_n+2-2a_n+1）=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ⁺²-1）=-1．
综上可知，当λ=-1时，数列{an+λ2n}为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由（1）知，an-12n=a1-12+(n-1)×1，
∴an=(n+1)•2n+1．
∴Sn=(2•21+1)+(3•22+1)+…+(n•2n-1+1)+[(n+1)•2n+1]．
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n+n．
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n，①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1．         ②
②-①，得Tn=-2•21-(22+23+…+2n)+(n+1)•2n+1=n•2ⁿ⁺¹．
∴Sn=n•2n+1+n=n•(2n+1+1)．

解析

an+λ2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=5且an=2a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：