已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．求数列{bn}的通项bn；设数列{an}的通项an=loga（其

题文

已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求数列{b_n}的通项b_n；
（2）设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+1bn）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列{a_n}的前n项和．试比较S_n与13log_ab_n+1的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{b_n}的公差为d，由题意得b1=110b1+10(10-1)2d=145.
解得b1=1d=3.
所以b_n=3_n-2．
（2）由b_n=3_n-2，知
S_n=log_a（1+1）+log_a（1+14）++log_a（1+13n-2）
=log_a[（1+1）（1+14）（1+13n-2）]，13log_ab_n+1=log_a33n+1．
因此要比较S_n与13log_ab_n+1的大小，可先比较（1+1）（1+14）（1+13n-2）与33n+1的大小．
取n=1有（1+1）＞33•1+1，
取n=2有（1+1）（1+14）＞33•2+1，
由此推测（1+1）（1+14）（1+13n-2）＞33n+1．①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a＞1时，S_n＞13log_ab_n+1．
当0＜a＜1时，S_n＜13log_ab_n+1．
下面用数学归纳法证明①式．
（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+14）（1+13k-2）＞33k+1．
那么，当n=k+1时，
（1+1）（1+14）（1+13k-2）（1+13(k+1)-2）＞33k+1（1+13k+1）
=33k+13k+1（3k+2）．
因为[33k+13k+1(3k+2)]3-[33k+4]3=(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2(3k+1)2=9k+4(3k+1)2＞0，
所以33k+13k+1（3k+2）＞33k+4=33(k+1)+1．
因而（1+1）（1+14）（1+13k-2）（1+13k+1）＞33(k+1)+1．
这就是说①式当n=k+1时也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．
由此证得：
当a＞1时，S_n＞13log_ab_n+1．
当0＜a＜1时，S_n＜13log_ab_n+1．

解析

b1=110b1+10(10-1)2d=145.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：