已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2．求数列{an}的通项公式；求数列{|an|}的前n项和Tn．

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=12×1-1²=11；…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（12n-n²）-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n．…（3分）
n=1时，a₁=11也符合13-2n的形式．
所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=13-2n．…（4分）
（2）令a_n=13-2n≥0，又n∈N^*，解得n≤6．…（5分）
当n≤6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=12n-n²；…（8分）
当n＞6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n=2S₆-S_n=2×（12×6-6²）-（12n-n²）
=n²-12n+72．…（11分）
综上，Tn=12n-n2，n≤6n2-12n+72，n＞6.…（12分）

解析

12n-n2，n≤6n2-12n+72，n＞6.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=12n-.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：