已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1＞1，且6sn=．求{an}的通项公式；设数列{bn}满足

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和s_n满足s₁＞1，且6s_n=（a_n+1）（a_n+2）（n为正整数）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn=an，n为偶数2an，n为奇数，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）设Cn=bn+1bn，(n为正整数)，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有C_n＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．…..（2分）
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
两式相减得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，a_n=3n-1．…．（6分）
（2）bn=3n-1，n为偶数23n-1，n为奇数，T_n=b₁+b₂+…+b_n．…..（7分）
当n为偶数时，
T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=4(1-8n2)1-8+n2(5+3n-1)2=47(8n2-1)+n(3n+4)4，…．（9分）
当n为奇数时，T_n=（b₁+b₃+…+b_n）+（b₂+b₄+…+b_n-1）
=4(1-8n+12)1-8+n-12(5+3n-4)2=47(8n+12-1)+(n-1)(3n+1)4．…（11分）∴Tn=47(8n2-1)+n(3n-4)4，n为偶数47(8n+12-1)+(n-1)(3n+1)4，n为奇数…..（12分）
（3）Cn=2an+1an=23n+23n-1，n为偶数an+12an=3n+223n-1，n为奇数，…..（14分）
当n为奇数时，Cn+2-Cn=3n+823n+5-3n+223n-1=123n+5[3n+8-64(3n+2)]＜0，…（15分）
∴C_n+2＜C_n，
∴{C_n}递减，…..（16分）
Cn≤C1=54＜2008，…..（17分）
因此不存在满足条件的正整数N．…..（18分）

解析

3n-1，n为偶数23n-1，n为奇数

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：