数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+sin2nπ2，n=1，2，3，…．求a3，a4并求数列{an}的通项公式；（2

题文

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²nπ2）a_n+sin²nπ2，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a2n-1a2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n．证明：当n≥6时，|S_n-2|＜1n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁=1，a₂=2，
所以a₃=（1+cos²π2）a₁+sin²π2=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1=[1+cos²(2k-1)π2]a_2k-1+sin²(2k-1)π2=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2=（1+cos²2kπ2）a_2k+sin²2kπ2=2a_2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
因此a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为
a_n=n+12，n=2k-1(k∈N*)2n2，n=2k(k∈N*)
（2）由（1）知，b_n=a2n-1a2n=n2n，
所以S_n=12+222+323+…+n2n，①
12S_n=122+223+324+…+n2n^+1，②
①-②得，12S_n=12+122+123+…+12n-n2n+1=12[1-(12)n]1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1，
所以S_n=2-12n-1-n2n=2-n+22n．
要证明当n≥6时，|S_n-2|＜1n成立，只需证明当n≥6时，n(n+2)2n＜1成立．
（1）当n=6时，6×(6+2)26=4864=34＜1成立．
（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即k(k+2)2k＜1．
则当n=k+1时，
(k+1)(k+3)2k+1=k(k+2)2k×(k+1)(k+3)2k(k+2)＜(k+1)(k+3)(k+2)•2k＜1．
由（1）、（2）所述，当n≥6时，n(n+2)2n＜1．
即当n≥6时，|S_n-2|＜1n．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=1，a2=2，an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：