已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1=b1=1且a3+a5+a7=9，a7是b3和b7的等比中项．求数列{an}、{bn}的通项公式；若cn

题文

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=1且a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2a_nb_n²，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题意知：a₃+a₅+a₇=9，
∴3a5 =9，∴a5=3，d=a5-a14=12，
∴an=a1+(n-1)d=n+12(n∈N+)
a₇=4，∵a₇²=b₃•b₇=16，∴b₅²=b₃•b₇=16，∵b₅∈N₊，
∴b5=4，∴q4=b5b1=4，∵q∈R+，∴q=2，
∴bn=b1•qn-1=2n-12(n∈N+)
（II）因为c_n=2a_n•b_n²=（n+1）•2^n-1
所以T_n=c₁+c₂++c_n=2+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1．（1）
2T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ．（2）
由（1）减（2），
得-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+2n-12-1-(n+1)•2n=-n•2n，
∴T_n=n•2ⁿ

解析

a5 

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}和等比数列{bn}，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：