已知各项均为实数的数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，且满足S4=2S2+8．求公差d的值；若数列{an}的首项的平方与其余各项之

题文

已知各项均为实数的数列{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，且满足S₄=2S₂+8．
（1）求公差d的值；
（2）若数列{a_n}的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；
（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据题意可知：4a₁-6d=2（2a₁-d）+8，解得d=2；
（2）考虑到d=2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究．
①当a₁=0时，0²+d+2d=0+2+4≤10，而0²+d+2d+3d=0+2+4+6＞10，此时，数列至多3项；
②当a₁＞0时，可得数列至多3项；
③当a₁＜0时，a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d≤10，即a₁²+3a₁+2≤0，△=1＞0，此时a₁有解．
而a₁²+a₁+d+a₁+2d+a₁+3d+a₁+4d≤10，即a₁²+4a₁+10≤0，△=-24＜0，此时a₁无解．
所以a₁＜0时，数列至多有4项．
（3）a₁=-1时，数列为：-1，1，3，5；或a₁=-2时，数列为：-2，0，2，4．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为实数的数列{an}是公差为d.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：