数列{an}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为Sn，若110S10和119S19的等比中项为116S16．数列{bn}满足：bn=anan

题文

（文科）数列{a_n}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为S_n，若110S₁₀和119S₁₉的等比中项为116S₁₆．数列{b_n}满足：b_n=a_na_n+1a_n+2．
求：（1）数列{a_n}的通项a_n；（2）数列{b_n}前n项和T_n最大时n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n=21+（n-1）d（d≠0），
则S_n=21n+n(n-1)2d，
∴1nS_n=21+n-12d，
∴110S₁₀=21+92d，119S₁₉=21+9d，116S₁₆=21+152d．
由题设可知：（116S₁₆）²=（110S₁₀）•（119S₁₉），
即（21+152d）²=（21+92d）•（ 21+9d），解得d=-2，
∴a_n=21-2（n-1）=23-2n；
（2）由a_n=23-2n＞0，得n＜12．
∴当n＜10时，b_n=a_na_n+1a_n+2＞0；
当n＞11时，b_n=a_na_n+1a_n+2＜0．
而T_n=T_n-1+b_n，
∴当b_n＞0时，T_n＞T_n-1；当b_n＜0时，T_n＜T_n-1．
∴当n＜10时，{T_n}递增；当n＞11时，{T_n}递减．
又b₁₀=a₁₀a₁₁a₁₂=-3，b₁₁=a₁₁a₁₂a₁₃=3，
∴T₉=T₁₁，
∴当n=9或11时，{ T_n}取最大值．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“（文科）数列{an}是首项为21，公差d.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：