已知向量p=，q=，n∈N*，向量p与q垂直，且a1=1求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=lo

题文

已知向量p=（a_n，2ⁿ），q=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，向量p 与q 垂直，且a₁=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵向量p 与q 垂直，∴2ⁿa_n+1-2ⁿ⁺¹a_n=0，
 即2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n，…（2分）
∴an+1an=2∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列…（4分）
∴a_n=2^n-1．        …（5分）
（2）∵b_n=log₂a₂+1，∴b_n=n
∴a_n•b_n=n•2^n-1，…（8分）
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1    …①
∴2S_n=1×2+2×2²+…（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ   …②…（10分）
由①-②得，-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=1-2n1-2-n•2n=（1-n）•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1…（12分）
∴S_n=1-（n+1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=1+（n-1）•2ⁿ．…（14分）

解析

p

考点

据考高分专家说，试题“已知向量p=（an，2n），q=（2n+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：