已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．令bn=4a2n+1-1，记数列{bn}的前n项和为Tn，对任意的n

题文

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．令bn=4a2n+1-1（n∈N^*），记数列{b_n}的前n项和为T_n，对任意的n∈N^*，不等式T_n＜m100恒成立，则实数m的最小值是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则由a₃a₆=55，a₂+a₇=16，得：(a1+2d)(a1+5d)=55(a1+d)+(a1+6d)=16，
即(a1+2d)(a1+5d)=55①2a1+7d=16             ②，由②得：a1=16-7d2③
把③代入①得：d²=4，所以d=-2或d=2．
因为{a_n}的公差大于0，所以，d=2，
则a1=16-7×22=1．
所以，a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
则a_n+1=2（n+1）-1=2n+1．
所以，bn=4an+12-1=4(2n+1)2-1=44n(n+1)=1n(n+1)=1n-1n+1．
则T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)
=1-1n+1=nn+1．
由T_n＜m100对任意n∈N^*恒成立，
得nn+1＜m100恒成立，
即m＞100nn+1=1001+1n对任意n∈N^*恒成立，
所以，m≥100．
则实数m的最小值为100．
故答案为100．

解析

(a1+2d)(a1+5d)=55(a1+d)+(a1+6d)=16

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是一个公差大于0的等差数列，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：