已知点是函数f=ax的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f-c，数列{bn}的首项为c，且前n项和

题文

已知点（1，13）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足：S_n-S_n-1=Sn+Sn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}的通项c_n=b_n•(13)n，求数列{c_n}的前n项和R_n；
（3）若数列{1bnbn+1}前n项和为T_n，问T_n＞10002009的最小正整数n是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为点（1，13）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
所以f(1)=a=13，所以，f(x)=(13)x．
因为等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，
所以a1=f(1)-c=13-c，
a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=(13)2-c-13+c=-29，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=(13)3-c-(13)2+c=-227．
又数列{a_n}成等比数列，所以，a1=a22a3=481-227=-23=13-c，所以c=1．
所以13-1=-23．
又公比q=a3a2=-227-29=13
所以an=-23(13)n-1=-2(13)n．
由数列{b_n}的前n项和满足S_n-S_n-1=Sn+Sn-1（n≥2）．
则(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn-1  （n≥2），
又b_n＞0，Sn＞0，所以Sn-Sn-1=1．
所以，数列{Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则Sn=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
满足b₁=c=1．
所以，bn=2n-1(n∈N*)；
（2）由cn=bn(13)n=(2n-1)(13)n，
所以R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1×(13)1+3×(13)2+5×(13)3+…+(2n-1)×(13)n①
两边同时乘以13得：
13Rn=1×(13)2+3×(13)3+5×(13)4+…+(2n-3)×(13)n+(2n-1)×(13)n+1②
①式减②式得：
23Rn=13+2[(13)2+(13)3+(13)4+…+(13)n]-(2n-1)×(13)n+1
化简得：23Rn=13+2×(13)2[1-(13)n-1]1-13-(2n-1)×(13)n+1=23-2(n+1)3×(13)n
所以Rn=1-n+13n．
（3）Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1
=11×3+13×5+15×7+…+1(2n-1)(2n+1)
=12(1-13)+12(13-15)+12(15-17)+…+12(12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)=n2n+1；
由Tn=n2n+1＞10002009，得n＞10009，所以，满足Tn＞10002009的最小正整数为112．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知点（1，13）是函数f（x）=ax（.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：