已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d，在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．求证：|

题文

已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0），在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．
（I）求证：|q|＞1；
（II）若a=1，n=1，求d的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知qn+2=ca，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得qn+2=ca=1+2da＞1
即|qⁿ⁺²|＞1，故|q|ⁿ⁺²＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．
（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得（1+2d）²=（1+d）³，即d³-d²-d=0，其正根为d=1+52
若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得1+2d=（1+d）³，即d³+3d²+d=0，此方程无正根．
故所求公差d=1+52

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：