已知数列{an}满足a1=3，an+1-3an=3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn=an3n．证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式；（

题文

已知数列{a_n}满足a₁=3，an+1-3an=3n(n∈N*)，数列{b_n}满足bn=an3n．
（1）证明数列{b_n}是等差数列并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）证明：由bn=an3n，得bn+1=an+13n+1，
∴bn+1-bn=an+13n+1-an3n=13---------------------（2分）
所以数列{b_n}是等差数列，首项b₁=1，公差为13-----------（4分）
∴bn=1+13(n-1)=n+23------------------------（6分）
（2）an=3nbn=(n+2)×3n-1-------------------------（7分）
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=3×1+4×3+…+（n+2）×3^n-1----①
∴3Sn=3×3+4×32+…+(n+2)×3n-------------------②（9分）
①-②得-2Sn=3×1+3+32+…+3n-1-(n+2)×3n
=2+1+3+3²+…+3^n-1-（n+2）×3ⁿ=3n+32-(n+2)×3n------（11分）
∴Sn=-3n+34+(n+2)3n2-----------------（12分）

解析

an3n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=3，an+1-.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：