已知函数f=x2+x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f．求数列{

题文

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an2n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞m，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴S_n=n²，即有a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
a₁=S₁=1也满足，
∴a_n=2n-1．（5分）
（2）由（1）得b_n=2n-12n，
∴T_n=121+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n，①
12T_n=122+323+…+2n-52n-1+2n-32n+2n-12n+1，②
①-②得12T_n=12+222+223+…+22n-1+22n-2n-12n+1
=12+（12+122+123+…+12n-1）-2n-12n+1
=32-12n-1-2n-12n+1，
∴T_n=3-12n-2-2n-12n=3-2n+32n．（9分）
设g（n）=2n+32n，n∈N₊，
则由g(n+1)g(n)=2n+52n+12n+32n=2n+52(2n+3)=12+12n+3≤12+15＜1，得g（n）=2n+32n（n∈N₊）随n的增大而减小，
∴g（n）≤g（1），
即T_n≥3-2+32=12．
又T_n＞m恒成立，
∴m＜12．（12分）

解析

2n-12n

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+（a-1）x+b.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：