已知数列{an}是等差数列，a3=10，a6=22，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+13bn=1．求数列{an}的通项公式；求证：数列{bn}

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是T_n，且Tn+13bn=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，
∴a1+2d=10a1+5d=22.解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．…（4分）
（II）证明：由于Tn=1-13bn，①
令n=1，得b1=1-13b1，解得b1=34
当n≥2时，Tn-1=1-13bn-1②
①-②得bn=13bn-1-13bn，
∴bn=14bn-1
又b1=34≠0，∴bnbn-1=14．
∴数列{b_n}是以34为首项，14为公比的等比数列．…（9分）
（III）证明：由（II）可得bn=34n．…（9分）   
∴cn=an•bn=3(4n-2)4n…（10分）
∴cn+1-cn=3[4(n+1)-2]4n+1-3(4n-2)4n=30-36n4n+1．
∵n≥1，故c_n+1-c_n＜0，
∴c_n+1＜c_n．…（13分）

解析

a1+2d=10a1+5d=22.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a3=10，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：