数列{an}满足an+1+an=4n-3若{an}是等差数列，求其通项公式；若{an}满足a1=2，Sn为{an}的前n项和，求S2n+

题文

数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若{a_n}满足a₁=2，S_n为{a_n}的前n项和，求S_2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）由题意得a_n+1+a_n=4n-3…①
a_n+2+a_n+1=4n+1…②．…（2分）
②-①得a_n+2-a_n=4，
∵{a_n}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）
∵a₁+a₂=1∴a₁+a₁+d=1，∴a1=-12．（6分）
∴an=2n-52．（7分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a₁+a₂=1，
∴a₂=-1．（8分）
又∵a_n+2-a_n=4，
∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，
∴a_2n-1=4n-2，a_2n=4n-5．（11分）
S_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（a₂+a₄+…+a_2n）（12分）
=(n+1)×2+(n+1)n2×4+n×(-1)+n(n-1)2×4
=4n²+n+2．（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足an+1+an=4n-3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：