已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1-bn2．求数列{

题文

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=1-bn2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n
（3）求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₃=5，a₅=9，∴d=a5-a35-3=2
∴a_n=a₅+2（n-5）=2n-1
∵S_n=1-bn2，∴n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=bn-1-bn2，∴bnbn-1=13
∵n=1时，b₁=S₁=1-b12，∴b₁=13
∴b_n=13•(13)n-1=(13)n；
（2）证明：由（1）知c_n=a_n•b_n=2n-13n
∴c_n+1-c_n=2n+13n+1-2n-13n=4(1-n)3n+1≤0
∴c_n+1＜c_n
（3）T_n=13+332+…+2n-13n
∴13T_n=132+…+2n-33n+2n-13n+1
两式相减可得：23T_n=13+232+…+23n-2n-13n+1=32-32•n+13n
∴T_n=1-n+13n．

解析

a5-a35-3

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差大于0，且a3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：