已知函数f=2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列．若a1=f，a3=f，

题文

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{C_n}对任意正整数n均有C1b1+C2b2+…+Cnbn=an+1成立，求{C_n}的通项；
（3）试比较3bn-13bn+1与an+1an+2的大小，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是公差为d的等差数列a₁=（d-2）²，a₃=d²
∴a₃-a₁=4d-4=2d∴d=2，a₁=0∴a_n=2n-2…（2分）
同理：b_n=3^n-1…（4分）
（2）∵C1b1+C2b2+…+Cnbn=an+1
∴C1b1+C2b2+…+Cn-1bn-1=an(n≥2)
以上两式相减：Cnbn=an+1-an(n≥2)
∴Cnbn=2(n≥2)⇒Cn=2bn(n≥2)…（6分）
∴C_n=2•3^n-1（n≥2），经检验，n=1仍然成立
∴C_n=2•3^n-1…（8分）
（3）3bn-13bn+1=3n-13n+1；an+1an+2=nn+1
∴3bn-13bn+1-an+1an+2=3n-13n+1-nn+1=3n-2n-1(3n+1)•(n+1)…（9分）
当n=1时，3bn-13bn+1=an+1an+2
当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰2⁰+C_n¹2¹+…+C_nⁿ2ⁿ＞2n+1
∴3bn-13bn+1＞an+1an+2
综上所述：n=1时，3bn-13bn+1=an+1an+2，
n≥2时，3bn-13bn+1＞an+1an+2…（12分）

解析

C1b1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1）2，数列{a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：