设Sn是正项数列{an的前n项和，且Sn=14an2+12an-34．求数列{an}的通项公式；是否存在等比数列{bn}，使a1b1+a2b2+…+

题文

设S_n是正项数列{a_n的前n项和，且Sn=14an2+12an-34．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等比数列{b_n}，使 a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2 对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（3）设Cn=11+an(n∈N*)，且数列{C_n}的前n项和为T_n，试比较与16的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=14an2+12a_n-34  得S_n+1=14an+12+12an+1-34，
  相减并整理得 （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
  又由于a_n+1+a_n＞0，则a_n+1=a_n+2，故{a_n}是等差数列．
∵a1=S1=14a12+12a₁²-34＞0，所以a₁=3
    故a_n=2n+1                                …4分
（2）当n=1，2时，a₁b₁=2²（2×1-1）+2=6，
a₁b₁+a₂b₂=2³（2×2-1）+2=26，可解得b₁=2，b₂=4，猜想b_n=2ⁿ，使a₁b₁+a₂b₂+…
+a_nb_n=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2成立．
证明：3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ=2ⁿ⁺¹（2n-1）+2恒成立．
令S=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ   ①
2S=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹ ②
②-①得：S=（2n+1）2ⁿ⁺¹-2•2ⁿ⁺¹+2=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2，
故存在等比数列{b_n}符合题意…8分
（3）C_n=1(2n+2)2＜1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1-12n+3）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n＜12（13-15+15-17+…+12n+1-12n+3）=12（13-12n+3）＜16
故Tn＜16…12分

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设Sn是正项数列{an的前n项和，且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：