已知数列{an}中，a0=2，a1=3，a2=6，且对n≥3时，有an=an-1-4nan-2+an-3．设数列{bn}满足bn=a

题文

已知数列{a_n}中，a₀=2，a₁=3，a₂=6，且对n≥3时，有a_n=（n+4）a_n-1-4na_n-2+（4n-8）a_n-3．
（Ⅰ）设数列{b_n}满足b_n=a_n-na_n-1，n∈N^*，证明数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{na_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 证明：由条件，得a_n-na_n-1=4[a_n-1-（n-1）a_n-2]-4[a_n-2-（n-2）a_n-3]，
则a_n+1-（n+1）a_n=4[a_n-na_n-1]-4[a_n-1-（n-1）a_n-2]．…2分
即b_n+1=4b_n-4b_n-1．又b₁=1，b₂=0，所以b_n+1-2b_n=2（b_n-2b_n-1），b₂-2b₁=-2≠0．
所以{b_n+1-2b_n}是首项为-2，公比为2的等比数列． …4分b₂-2b₁=-2，所以b_n+1-2b_n=2^n-1（b₂-2b₁）=-2ⁿ．
两边同除以2ⁿ⁺¹，可得bn+12n+1-bn2n=-12．…6分
于是{bn2n}为以12首项，-12为公差的等差数列．
所以bn2n=b12-12(n-1)，得bn=2n(1-n2)．…8分
（Ⅱ）a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（a_n-1-2^n-1），令c_n=a_n-2ⁿ，则c_n=nc_n-1．
而c₁=1，∴c_n=n（n-1）•…•2•1•c₁=n（n-1）•…•2•1．
∴a_n=n（n-1）•…•2•1+2ⁿ． …12分na_n=n•n•（n-1）•…•2•1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n•2ⁿ，
∴S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）．…14分
令T_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
则2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
∴S^=(n+1)!+(n-1)2n+1+1．…16分．

解析

bn+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a0=2，a1=3，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：