数列{an}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn(n∈N*)，求数列

题文

数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-12bn(n∈N*)，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂=3，a₅=9．
∴d=9-35-2=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{b_n}中，T_n=1-12b_n，①
∴T_n+1=1-12b_n+1，②
②-①得：bn+1bn=13，又T₁=1-12b₁=b₁，
∴b₁=23，
∴数列{b_n}是以23为首项，13为公比的等比数列，
∴b_n=23•(13)n-1；
综上所述，a_n=2n-1，b_n=23•(13)n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•23•(13)n-1，
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×23+3×23×13+…+（2n-1）×23×(13)n-1，③
∴13S_n=23×13+3×23×(13)2+…+（2n-3）×23×(13)n-1+（2n-1）×23×(13)n，④
∴③-④得：23S_n=23+43[13+(13)2+(13)3+…+(13)n-1]-（2n-1）×23×(13)n，
S_n=1+2[13+(13)2+(13)3+…+(13)n-1]-（2n-1）×(13)n
=1+2×13[1-(13)n-1]1-13-（2n-1）×(13)n
=2-2n+23×(13)n-1
=2-（2n+2）×(13)n．

解析

9-35-2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}是公差为正数的等差数列，a2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：