设数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2．求数列{an}，{bn}的通项公式；若cn=anb

题文

设数列{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₅=9；数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若cn=anbn(n∈N+)，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意可得数列{a_n}的公差d=12（a₅-a₃）=2，
故a₁=a₃-2d=1，故a_n=a₁+2（n-1）=2n-1，
由S_n+b_n=2可得S_n=2-b_n，当n=1时，S₁=2-b₁=b₁，∴b₁=1，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2-b_n-（2-b_n-1），∴bn=12bn-1，
∴{b_n}是以1为首项，12为公比的等比数列，
∴b_n=1•(12)n-1=(12)n-1；
（II）由（I）可知c_n=anbn=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1，
故2T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减可得-T_n=1+2•2¹+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=1+22(1-2n-1)1-2-（2n-1）•2ⁿ
=1-4+（3-2n）•2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}为等差数列，且a3=5，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：