已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a5=13a32，S7=56．求数列{an}的通项公式an；若数列{bn}满足b1=a1且bn

题文

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1+a5=13a32，S₇=56．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求数列{1bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵{a_n}是等差数列且a1+a5=13a32，
∴2a3=13a32，
又∵a_n＞0∴a₃=6．…（2分）
∵S7=7(a1+a7)2=7a4=56∴a4=8，…（4分）
∴d=a₄-a₃=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n，
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
当n=1时，b₁=2满足上式，b_n=n（n+1）
∴1bn=1n(n+1)=1n-1n+1…（10分）
∴Tn=1b1+1b2+…+1bn-1+1bn=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1．        …（12分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：