已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．求数列{an}的通项公式；令bn=an•3n，求数列{bn}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，
∴2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵a_n=2n，
∴b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
∴S_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2（n-1）×3^n-1+2n×3ⁿ，①
3S_n=2×3²+4×3³+6×3⁴+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S_n=6+2×3²+2×3³+2×3⁴+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
=2×3(1-3n)1-3-2n×3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-2n×3ⁿ⁺¹
=（1-2n）×3ⁿ⁺¹
∴S_n=2n-12×3n+1．

解析

3(1-3n)1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，且a1=2，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：