等差数列{an}中，a3=3，a1+a7=8．求数列{an}的通项公式；若bn=1an•an+1，证明：数列{bn}的前n项和Sn＜1．

题文

等差数列{a_n}中，a₃=3，a₁+a₇=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=1an•an+1，证明：数列{b_n}的前n项和S_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃=3，a₁+a₇=8可得a1+2d=32a1+6d=8，解得a1=1d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n．
（II）证明：由（I）可知：a_n=n，
∴bn=1an•an+1=1n(n+1)=1n-1n+1，
∴S_n=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1＜1．

解析

a1+2d=32a1+6d=8

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，a3=3，a1+a7.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：