已知公差不为零的等差数列{an}满足a3=5，且a1，a2，a5成等比数列．求数列{an}的通项公式an；设Sn为数列{an}的前n项和，数列{bn

题文

已知公差不为零的等差数列{a_n}满足a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足bn=2n•Sn，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁，a₂，a₅成等比数列，a₃=5
∴a22=a1a3
∴（5-d）²=（5-2d）（5+2d）
∵d≠0
∴d=2
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1
（2）由（1）可得，Sn=1+2n-12×n=n²
∴bn=2n•Sn=n•2ⁿ
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2(1-2n)1-2-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴Tn=(n-2)•2n+1+2

解析

1+2n-12

考点

据考高分专家说，试题“已知公差不为零的等差数列{an}满足a3.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：