已知等差数列{an}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．求数列{an}与{bn}

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，且公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明13≤1S1+1S2+…+1Sn＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则
∵a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d)
∵a₁=3，∴d²-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
∵q=b3b2=a4a1=3，b1=b2q=1
∴b_n=3^n-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知Sn=n2+2n
∴1Sn=1n(n+2)=12（1n-1n+2）
∴1S1+1S2+…+1Sn=12[(1-13)+(12-14)+…+(1n-1n+2)]=12(1+12-1n+1-1n+2)
=34-12(1n+1+1n+2)＜34
∵1n+1+1n+2≤12+13=56
∴34-12(1n+1+1n+2)≥13
∴13≤1S1+1S2+…+1Sn＜34

解析

b3b2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=3，且公.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：