数列{an}的前n项和为Sn，当n≥1时，Sn+1是an+1与Sn+1+2的等比中项．求证：当n≥1时，1Sn-1Sn+1=12；设a1=-1，求S

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+2的等比中项．
（Ⅰ）求证：当n≥1时，1Sn-1Sn+1=12；
（Ⅱ）设a₁=-1，求S_n的表达式；
（Ⅲ）设a₁=-1，且{n(pn+q)Sn}是等差数列（pq≠0），求证：pq是常数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：由题意得，当n≥1时，S2n+1=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
⇒1Sn-1Sn+1=12．…（4分）
（2）由（1）得：1Sn+1-1Sn=-12及a₁=-1
可知：数列{1Sn}是以-1为首项，以-12为公差的等差数列，
可求得：Sn=-2n+1．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-n2+n2(pn+q)，且{C_n}是等差数列，设公差为d．
则-n²-n=…=2dpn²+[2dq+2p（c₁-d）]n+2q（c₁-d），
所以c₁-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c₁-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，
所以pq=1（常数）．…（13分）

解析

S2n+1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，当n≥1时.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：