已知等差数列{an}为递增数列，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和Tn=1-12bn．求数列{an}和{bn}的通项公

题文

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和T_n=1-12b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）若C_n=3nbnanan+1，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）①∵等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d=a5-a23=2，a₁=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
②∵T_n=1-12b_n，
∴令n=1，得b₁=23，
当n≥2时，T_n=1-12b_n，T_n-1=1-12b_n-1，两式相减得，b_n=12b_n-1-12b_n，
∴bnbn-1=13（n≥2），
数列{b_n}是以23为首项，13为公比的等比数列．
∴bn=23•(13)n-1=2•13n（n∈N^*）．
（2）∵bn=2•13n，C_n=3nbnanan+1，
∴C_n=3n×2×13n(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1．
∴S_n=(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)=1-12n+1=2n2n+1．

解析

a5-a23

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}为递增数列，且a2，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：