已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=nan，求证：b1+b2+…+

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=12（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=na_n，求证：b₁+b₂+…+b_n＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=12（1-a_n），∴n≥2时，S_n-1=12（1-a_n-1）．
两式相减可得a_n=12（a_n-1-a_n），∴anan-1=13
∵n=1时，a₁=S₁=12（1-a₁），∴a₁=13
∴数列{a_n}是以13为首项，13为公比的等比数列
∴a_n=13•(13)n-1=(13)n；
（2）证明：b_n=na_n=n•(13)n
令T_n=b₁+b₂+…+b_n，即T_n=1•13+2•(13)2+…+n•(13)n
∴13T_n=1•(13)2+2•(13)3+…+（n-1）•(13)n+n•(13)n+1
两式相减可得23T_n=1•13+1•(13)2+1•(13)3+…+1•(13)n-n•(13)n+1=13[1-(13)n]1-13-n•(13)n+1=1-(13)n2-n•(13)n+1
∴T_n=3[1-(13)n]4-3n2•(13)n+1，
∴T_n＜34．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn和通项an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：