已知数列an的首项a1=0，an+an+1是首项为1、公差为3的等差数列．①求an的通项公式；②求数列2-n×an的前n项和Sn．

题文

已知数列a_n的首项a₁=0，a_n+a_n+1（n∈N^*）是首项为1、公差为3的等差数列．
①求a_n的通项公式；
②求数列2^-n×a_n的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①依题意，根据等差数列通项公式，a_n+a_n+1=3n-2，
当n＞1时，a_n+a_n-1=3n-5，a_n+1-a_n-1=3，
即a_2n-1（n∈N^*）和a_2n（n∈N^*）都是公差为3的等差数列．
因为a₁=0，a₂=1，
所以a_2n-1=3（n-1），a_2n=3n-2，
即an=3(k-1)，n=2k-13k-2，n=2k，k∈N^*．
②S_n=2^-1×a₁+2^-2×a₂+2^-3×a₃++2^-n+1×a_n-1+2^-n×a_n2S_n=a₁+2^-1×a₂+2^-2×a₃++2^-n+2×a_n-1+2^-n+1×a_n，
两式相加得3S_n=2^-1（a₂+a₁）+2^-2（a₃+a₂）++2^-n+2（a_n-1+a_n-2）+2^-n+1（a_n+a_n-1）+2^-n×a_n6S_n
=（a₂+a₁）+2^-1（a₃+a₂）++2^-n+3（a_n-1+a_n-2）+2^-n+2（a_n+a_n-1）+2^-n+1×a_n
两式相减得：3S_n=1+2^-1×3+2^-2×3++2^-n+2×3-2^-n+1×（3n-5）+2^-n×a_n3S_n
=1+3×（1-2^-n+2）-2^-n+1×（3n-5）+2^-n×a_n=4-2^-n×（6n+2-a_n）
Sn=4-2-n×(6n+2-an)3，
所以Sn=4-2-2k+1×(9k-1)3，n=2k-14-2-2k×(9k+4)3，n=2k，k∈N^*．

解析

3(k-1)，n=2k-13k-2，n=2k

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的首项a1=0，an+an+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：