设函数f=2x-cosx，{an}是公差为π8的等差数列，f+f+…+f=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．

题文

设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为π8的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差为π8的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-π8×2）+cos（a₃+π8×2）]+[cos（a₃-π8）+cos（a₃+π8）]+cosa₃
=2cos(a3-π4)+(a3+π4)2cos(a3-π4)-(a3+π4)2+2cos(a3-π8)+(a3+π8)2cos(a3-π8)-(a3+π8)2+cosa₃
=2cosa₃•22+2cosa₃•cos（-π8）+cosa₃
=cosa₃（1+2+2+2）
则cosa₁+cosa₂+…+cosa₅的结果不含π，
又∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，
∴cosa₃=0，故a₃=π2，
∴[f(a3)]2-a1a3=π²-（π2-2•π8）•π2=π²-π28=7π28，
故答案为：7π28

解析

π8

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=2x-cosx，{an}.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：