已知函数f=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f的值域为[a3，b3]，依此类推，一般地，当

题文

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）项m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足limn→∞bn=4？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求T₂₀₁₀-S₂₀₁₀． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）=x+m，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[a_n-1+m，b_n-1+m]…（2分）
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）…（4分）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因为f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，则b_n=kb_n-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limn→∞bn=4，则limn→∞bn=klimn→∞bn-1+2，得4=4k+2，则k=12符合．…（12分）
法二：假设存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足limn→∞bn=4．
当k=1不符合．…（9分）
当k≠1时，bn=kbn-1+2(n≥2)⇔bn+2k-1=k(bn-1+2k-1)(n≥2)，
则bn=(1+2k-1)kn-1-2k-1，…（11分）
当0＜k＜1时，limn→∞bn=21-k=4，得k=12符合．…（12分）
（3）因为k＜0，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kb_n-1+m，ka_n-1+m]…（14分）
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
则b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）…（16分）
又b₁-a₁=1
则有T2010-S2010=2010，(k=-1)1-k20101+k)，(k＜0，k≠-1)…（18分）

解析

limn→∞

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：