我们把数列{ank}叫做数列{an}的k方数列，S表示k方数列的前n项的和．比较S•S与[S

题文

我们把数列{a_n^k}叫做数列{a_n}的k方数列（其中a_n＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．
（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]²的大小；
（2）若数列{a_n}的1方数列、2方数列都是等差数列，a₁=a，求数列{a_n}的k方数列通项公式．
（3）对于常数数列a_n=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{a_n}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{a_n}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²…（2分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²…（4分）
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²
∵a_n＞0，，∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²…（5分）
（2）设a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p…（7分）
则  d（a_n+a_n-1）=p…①d（a_n+1+a_n）=p…②
∴②-①得  2d²=0，∴d=p=0  …（9分）a_n=a_n-1，∴a_n^k-a_n-1^k=0
∴a_n^k=a^k…（11分）
（3）当a_n=n时，恒等式为[S（1，n）]²=S（3，n） …（15分）
证明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）
相减得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³
∴[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²
相减得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，，a_n＞0a_n-a_n-1=1，，a₁=1
∴a_n=n…（18分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“我们把数列{ank}叫做数列{an}的k.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：