设{an}是正数组成的数列，其前n项的和为Sn，并且对于所有的自然数n，存在正数t，使an与t的等差中项等于Sn与t的等比中项．求{an}的通项公式；（2

题文

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项的和为S_n，并且对于所有的自然数n，存在正数t，使a_n与t的等差中项等于S_n与t的等比中项．
（1）求 {a_n}的通项公式；
（2）若n=3时，S_n-2t•a_n取得最小值，求t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意：t+an2=tSn即2tSn=t+an
当n=1时，2ta1=t+a1=t+a1，∴(a1-t)2=0，a1=t…..（3分）
当n≥2时，2tSn=t+an∴4tSn=t2+2tan+an2①4tS_n-1=t²+2ta_n-1+a_n-1²②
①-②得4ta_n=2ta_n-2ta_n-1+（a_n²-a_n-1²）2t（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=2t∴{a_n}是以t为首项，2t为公差的等差数列，a_n=（2n-1）t…．（8分）
（2）∴S_n=tn²，an+t=2tSn=2nt，∴a_n=（2n-1）tS_n-2t•a_n=tn²-（2n-1）•2t²=tn²-4t²n+2t²，
设f（x）=tx²-4t²x+2t²，∵当x取3 时有最大值，对称轴4t22t=2t∈[52，72]∴t∈[54，74]…（12分）

解析

t+an2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是正数组成的数列，其前n项的和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：