已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，设bn=log2，求证数列{an+1}是等比数列；求数列{

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1），
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）设cn=2bnan•an+1，①求数列{c_n}的最大值．②求limn→∞(c₁+c₂+…+c_n）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1．                   （1分）
∵S_n=2a_n-n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．    （3分）
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），（5分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．   （6分）
（2）由（1）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．   （8分）
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N^*．               （10分）
（3）cn=2nanan+1，cn+1=2n+1an+1an+2①
cn+1-cn=2n+1(2n+1-1)(2n+2-1)-2n(2n-1)(2n+1-1)=-2×4n-2n(2n+1-1)(2n+2-1)(2n-1)＜0
∴数列{c_n}单调递减．（12分）
∴①n=1时数列{c_n}的最大值为c1=23．（14分）
②由cn=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1，（16分）
所以c₁+c₂+…+c_n=1-12n+1-1．∴limn→∞(c₁+c₂+…+c_n）=1．（18分）

解析

2nanan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对于.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：